materi peluang

Frekuensi Harapan 

 Yang dimaksud dengan frekuensi harapan dari suatu kejadian adalah banyaknya kejadian yang terjadi dikalikan dengan peluang kejadian tersebut. Sebagai contoh pada suatu percobaan A dilakukan sebanyak n kali, maka frekuensi harapan dari kejadian tersebut dapat ditulis :
Fh = n x P(A)
contoh :
Dilakukan percobaan pelemparan 3 buah mata uang logam  sekaligus  sebanyak 240 kali pelemparan, tentukan frekuensi harapan dari pelemparan tersebut munculnya 2 gambar dan 1 angka?
Jawab :
S = {AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA, GGG} ⇒ n(S) = 8
A = {AGG, GAG, GGA} ⇒ n(A) = 3
P(A)= n(A) / n(S) = 3/8
Fh(A)= n x P(A)
Fh(A)=240 x 3/8 =90 kali.

Peluang Komplemen Suatu Kejadian

Peluang Komplemen dari suatu kejadian A ditulis P(AC) dimana
P(A)+P(AC)=1
↔ P(AC)= 1 – P(A)
Contoh :
Dari pelemparan 3 buah mata uang logam yang dilakukan sekaligus, tentukan peluang munculnya paling sedikit 1 angka dari pelemparan uang logam tersebut?
Jawab :
Menggunakan cara biasa
S = {AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA, GGG}, sehingga  n(S) = 8
Kita misalkan kejadian munculnya paling sedikit satu angka yaitu A.
A = {AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA}, maka n(A) = 7
P(A) =n(A)/n(S) =7/8
Menggunakan cara komplemen
S = {AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA, GGG}, maka n(S) = 8
Disini juga kita misalkan kejadian munculnya paling sedikit satu angka yaitu A.
AC = {GGG}, maka n(AC) =1
P(AC) =  n(AC)/n(S) =1/8
P(A) = 1 – P(Ac) = 1 – 1/8 = 7/8

PELUANG KEJADIAN MAJEMUK
 
1. Peluang Gabungan Dua Kejadian
Jika diketahui A dan B merupakan dua kejadian yang berbeda sehingga peluang kejadian A ∪  B ditentukan menurut aturan :
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
contoh :
1. Jika terdapat sebuah dadu yang akan dilambungkan sekali, jika dimisalkan A adalah kejadain munculnya bilangan ganjil dan B adalah kejadian munculnya bilangan prima. Maka tentukanlah peluang munculnya bilangan prima atau bilangan ganjil!
Jawab :

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = bilangan ganjil yaitu {1, 3, 5} → P(A) = 3/6
B = bilangan prima yaitu {2, 3, 5} → P(B) =3/6
A∩B = {3, 5} → P{A∩B} = 2/6
P(A∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
= 3/6 + 3/6  – 2/6 = 4/6 = 2/3
Maka peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau bilangan prima adalah 2/3
2.Jika kita mempunyai 1 set kartu bridge, selanjutnya akan kita ambil sebuah kartu dari 1 set kartu bridge tersebut. Tentukan peluang terambilnya kartu as atau kartu hati dari proses pengambilan kartu tersebut!
Jawab :
n(S) = 52 (banyaknya kartu dalam 1 set kartu bridge adalah 52)
A = kartu As, n(A) = 4 (Banyaknya kartu As dalam1 set kartu bridge 4)
P(A) =4/52
B = kartu Hati, n(B) = 13 (Banyaknya kartu Hati dalam1 set kartu bridge 13)
P(B) = 13/52
n(A∩B) = 1 (Banyaknya Kartu As dan  Hati dalam1 set kartu bridge 1)
P(A∩B) = 1/52
P(A∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = 4/52 + 13/52 – 1/52 =16/52
Sehingga peluang kejadian terambilnya kartu As atau Hati  adalah 16/52

2.  Peluang Kejadian Saling Lepas / Kejadian Saling Asing

Jika terdapat dua kejadian A dan B, kedua kejadian ini dikatakan saling lepas jika kedua kejadian tersebut tidak mungkin terjadi bersama-sama. Hal ini berarti A∩B = 0  atau P(A∩B) = 0. Maka dalam  menghitung peluang kejadian saling asing ini kita dapat gunakan aturan :

karena P (A∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = P(A) + P(B) – 0
maka   P (A∪ B) = P(A) + P(B)

contoh :

Jika terdapat sebuah dadu dan akan kita lambungkan sekali, misalnya  A merupakan kejadian munculnya bilangan ganjil dan B merupakan kejadian munculnya bilangan genap. Tentukan peluang kejadian dari munculnya bilangan ganjil atau bilangan genap?

Jawab :

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = bilangan ganjil yaitu {1, 3, 5} → P(A) = 3/6
B = bilangan genap yaitu {2, 4, 6} → P(B) =3/6
A∩B = {} → P(A∩B) = 0 (A dan B kejadian saling lepas)
P(A∪ B) = P(A) + P(B)
= 3/6 + 3/6 = 1
Maka peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau bilangan genap adalah 1

3. Peluang Kejadian Saling Bebas

Jika terdapat dua kejadian A dan B, dua kejadian ini dikatakan saling bebas jika terjadinya kejadian A tidak mempengaruhi terjadinya kejadian B  begitu juga sebaliknya. Atau terjadi atau tidaknya kejadian A tidak tergantung terjadi atau tidaknya kejadian B, begitu juga sebaliknya. Hal ini seperti digambarkan pada peristiwa pelemparan dua buah dadu sekaligus. Misalkan A merupakan kejadian munculnya dadu pertama angka 5 dan B merupakan kejadian munculnya dadu kedua angka 3. Sehingga kejadian A dan kejadian B merupakan dua kejadian yang saling bebas, yang dirumuskan sebagai berikut :

P(A∩B) = P(A) × P(B)
Perhatikan contoh berikut :
1. Diketahui terdapat dua buah dadu yang akan dilempar secara bersamaan, dari pelemparan tersebut tentukan peluang munculnya mata dadu 3 untuk dadu pertama dan mata dadu 5 untuk dadu kedua?
jawab :
Kejadian pada soal ini merupakan dua kejadian saling bebas, hal ini disebabkan karena munculnya mata dadu 3 pada dadu pertama tidak terpengaruh kejadian munculnya mata dadu 5 pada dadu kedua.
S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), ….., (6, 6)} → n(S) = 36
Misalkan  kejadian munculnya mata dadu 3 pada dadu pertama adalah A, sehingga:
A = {(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)} → n(A) = 6  P(A) = 6/36 = 1/6
Misalkan  kejadian munculnya mata dadu 5 pada dadu kedua adalah B, sehingga:
B = {(1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 5), (6, 5)} → n(B) = 6  P(B) = 6/36 = 1/6
P(A∩B) = P(A) × P(B) = 1/6  × 1/6  = 1/36
Sehingga  peluang munculnya mata dadu 3 pada dadu pertama dan mata dadu 5
pada dadu kedua adalah  1/36
2. Terdapat dua buah kotak, Kotak A berisi 5 bola merah dan 3 bola kuning sedangkan Kotak B berisi 5 bola merah dan 2 bola kuning. Jika akan diambil sebuah bola secara acak pada masing-masing kotak tersebut. Tentukan peluang terambilnya bola merah dari kotak A dan terambilnya bola kuning dari kotak B!

Jawab :
Kotak A
n(S) = 8C1 = 8!/(1!(8-1)!) = 8!/7!  =8.7!/7!=  8
Dimisalkan kejadian terambilnya bola merah dari kotak A adalah A, sehingga :
n(A) = 5C1 = 5!/(1!(5-1)!)= 5!/4! = 5,    P(A) = n(A)/n(S) = 5/8
Kotak B
n(S) = 7C1 = 7!/(1!(7-1)!)  = 7!/6!  =   7
Dimisalkan kejadian terambilnya bola kuning dari kotak B adalah B, sehingga :
n(B) = 2C1 = 2!/(1!(2-1)!) =2!/1!= 2,    P(B) = n(B)/n(S)= 2/7
Jadi P(A∩B) = P(A) × P(B) = 5/8  × 2/7 = 5/28

PELUANG KEJADIAN BERSYARAT

Jika diketahui dua buah kejadian A dan B, dua kejadian ini dikatakan kejadian bersyarat/kejadian yang saling bergantung  jika terjadi atau tidak terjadinya kejadian A akan mempengaruhi terjadi atau tidak terjadinya kejadian B. Sehingga untuk peluang terjadinya kejadian A dengan syarat kejadian B telah terjadi dapat dihitung menggunakan rumus :

P(A/B) =    P(A∩B)/P(B) dimana  P(B) ≠ 0

sedangkan peluang terjadinya kejadian B dengan syarat kejadian A telah terjadi dapat dihitung menggunakan rumus :

P(B/A) =    P(A∩B)/P(A) dimana P(A) ≠ 0

contoh :

Terdapat sebuah kotak berisi 5 bola merah dan 3 bola kuning. Jika akan diambil sebuah bola secara acak berturut-turut sebanyak dua kali tanpa pengembalian . Tentukan peluang terambilnya keduanya bola merah!
Penyelesaian:
Misalkan kejadian terambilnya bola merah pada pengambilan pertama adalah A, sehingga :
P(A) = n(A)/n(S)= 5/8

Misalkan  kejadian terambilnya bola merah pada pengambilan kedua adalah B, sehingga :
P(B/A) = n(B/A)/n(S) = 4/7
P(A∩B) = P(A) × P(B/A) =  5/8  × 4/7 =5/14

sahabat

Sahabat
kau adalah sahabatku
teman pelipur laraku
denganmu aku berbagi
cerita indah
cerita tentang kegagalanku dan denganmu pula aku tuangkan masalahku

sahabat..........
saat kau sedih aku menangis
saat kau terluka hatiku tercabik
saat kau gundah aku selalu resah

sahabat.........
dimana jangan kau anggap aku orang laen
aku adalh dirimu
aku adalah saudaramu
aku siap korbankan jiwaku agar
kekal persahatan kita,,,,,,,

catatan

Mungkin aku tidak bisa menjadi cantik fisik seperti apa yang kamu mau. Tetapi aku mempunyai kecantikan lain yang tidak aku tunjukan

Nasehat

“Masalah terbesar pada wanita adalah sering mengingat terlalu banyak, sedangkan masalah terbesar pada pria adalah melupakan dengan cepat.”

“Kesuksesan akan diraih dari hasil kerja keras kita bukan hanya dari doa yang kita panjatkan.”

“Jadilan seperti yang kau inginkan, sebab kau hanya memiliki satu kehidupan dan kesempatan untuk melakukan hal yang kau inginkan.”

“Kehilangan mengajarkan kita suatu pelajaran, bahwa akan adanya pertemuan yang baru.”

“Tuhan akan memuliakan mereka yang mau bekerja keras dan bersungguh-sungguh.”

“Kau bisa terluka dan menangis, namun Tuhan tidak pernah membuatmu untuk lupa caranya tertawa.”

“Perbedaan gila dengan jenius: orang gila tak bisa membuktikan teorinya, orang jenius bisa. Jika mereka berkata kau gila, bungkam dengan pembuktian.”

“Cara bijak untuk menghukum seseorang yang telah berbuat salah kepada kita adalah dengan berbuat baik kepadanya.”

“Hidup bukanlah hanya tetang siapa yang berbuat baik kepadamu, namun tentang siapa yang tetap setiap di belakangmu.”

“Jangan berharap orang lain bisa menghargaimu, jika kau sendiri tidak bisa menghargai diri sendiri.”

“Jangan merubah hidupmu hanya karena pendapat orang lain, mereka akan bahagia tapi kamu akan tersiksa.”

“Apa yang terlihat indah tidak selalu baik, tetapi yang baik akan selalu terlihat indah.”

“Jika harus kalah, jadilah pecundang yang terhorman bukan kalah sebelum berjuang.”

“Terkadang bukan kenangan buruklah yang membuat kita sedih, melainkan kenangan indah yang tidak akan terulang kembali.”

“Karya seni terbaik biasanya berasal dari pergerakan bawah tanah. Bukankah hasil tambang terbaikpun ada dibawah tanah, bukan di permukaan.”

“Sahabat tidak akan menusukmu dari belakang, tapi dia yang akan menamparmu dari depan saat kamu melakukan kesalahan.”

“Kesuksesan itu harus butuh perjuangan, bukan hanya dapat di impikan.”

“Sebuah kejujuran adalah perhiasan jiwa yang lebih bercahaya dibandingkan dengan berlian.”

Cerita Singkat

“Bahagialah bagi orang yang mengerti akan cinta, karena dengan cinta kehidupan akan lebih berwarna”

“Jangan mencintai seseorang seperti bunga, karena bunga akan mati di kala musim berganti. Cintailah seseorang seperti sungai, karena sungai akan mengalir selamanya”

“Cinta sejati itu adalah ketika dia mencintai orang lain, dan kamu masih bisa untuk tersenyum dan berkata, aku turut bahagia untukmu”

“Memang menyakitkan mencintai seseorang yang tidak mencintaimu. Namun lebih menyakitkan lagi jika mencintai seseorang dan tidak pernah memiliki keberanian untuk mengungkapkan cintamu kepadanya”

“Cinta akan selalu setia pada hati, tidak peduli betapa hebatnya logika. Tapi kamu harus tahu kapan untuk menggunakan logika agar hatimu tidak terus terluka”

“Cinta tidak hanya berupa tatapan satu sama lain, tapi memandang ke luar bersama dengan arah yang sama”

“Cinta dimulai dari kamu membiarkan orang yang kamu cintai menjadi dirinya sendiri, dan tidak merubahnya menjadi gambaran yang kamu inginkan. Karena jika tidak, maka kamu hanya akan mencintai pantulan diri sendiri yang kamu temukan di dalam dirinya”

“Jangan takut untuk mencinta, hanya karena kamu pernah terluka. Cinta sejati tidak datang begitu saja, tapi akan melalui proses sedih dan tertawa bersama”

“Jika kamu ingin dicinta, mencintalah dan jadilah orang yang memang pantas untuk dicinta”

“Memberikan seluruh cintamu kepada seseorang bukanlah suatu jaminan ia akan membalas cintamu. Janganlah mengharapkan balasan cinta, tunggu sampai cinta tumbuh dan berkembang di hatinya, namun jika tidak, berbahagialah karena cinta telah tumbuh di hatimu”

“Ketika kamu belum bisa untuk mengambil keputusan tetap bertahan dengan perasaan itu, maka bersabarlah karena cinta yang akan menguatkanmu”

“Cinta memasukan kesenangan dalam kebersamaan, kesedihan dalam perpisahan, harapan pada hari esok dan kegembiraan di dalam hati”

“Cinta adalah ketika kamu kehilangan rasa dan romantika, namun kamu masih bisa tetap peduli kepadanya”

“Ketika jatuh cinta, jangan berjanji untuk tidak saling menyakiti, namun berjanjilah untuk tetap bersama meskipun salah satu akan tersakiti”

“Satu-satunya cara agar kita mendapatkan kasih sayang adalah jangan menuntut agar kita dicintai, tapi mulailah memberikan kasih sayang kepada orang lain tanpa mengharapkan balasan”

“Cinta bukanlah kata yang murah dan lumrah untuk dituturkan dari mulut ke mulut, tapi cinta merupakan anugerah tuhan yang indah dan suci jika manusia dapat menilai kesuciannya”

“Siapapun yang memiliki hati penuh cinta akan selalu mempunyai alasan untuk diberikan. Cinta sejati dimulai ketika tidak sesuatu pun diharapkan sebagai balasan”

“Cinta tidak dapat dipakasakan dan cinta tidak dapat dibujuk dan digoda. Namun cinya muncul dari surga tanpa topeng dan tanpa perlu harus dicari”